基于RC-ESPRIT的稀疏EMVS-MIMO雷达二维测向算法

王建龙，汪皓宇，王习东，文方青，师俊朋; WANG Jianlong; WANG Haoyu; WANG Xidong; WEN Fangqing; SHI Junpeng

doi: 10.12399/j.issn.2097-163x.2025.01.006

王建龙^1,2 ，汪皓宇³ ，王习东^1,2 ，文方青^1,2 ，师俊朋⁴

1. 水电工程智能视觉监测湖北省重点实验室,湖北宜昌 443002

2. 三峡大学计算机与信息学院,湖北宜昌 443002

3. 信息工程大学信息系统工程学院，河南郑州 450002

4. 国防科技大学电子对抗学院，安徽合肥 230037

基金项目: 国家自然科学基金资助项目(62271286, 62371271) ；湖北省自然科学基金资助项目(2022CFB752, 2022CFB786, 2023AFB019) ；宜昌市自然科学研究项目（A23-2-018）

详细信息

作者简介

王建龙,男，2000年生，硕士研究生，研究方向为阵列信号处理E-mail: 202308100021011@ctgu.edu.cn;

汪皓宇,男，2005年生，本科生，专业为雷达信号处理E-mail: 2295547987@qq.com;

王习东,男，1976年生，博士，讲师，研究方向为光电检测技术及系统E-mail: xdwang@ctgu.edu.cn;

文方青,男，1988年生，博士，教授，研究方向为阵列信号处理E-mail: wenfangqing@ctgu.edu.cn;

师俊朋,男，1988年生，博士，教授，博士研究生导师，研究方向为雷达信号处理E-mail: shijunpeng20@nudt.edu.cn

通讯作者

王习东,E-mail: xdwang@ctgu.edu.cn

中图分类号: TN95

文献标识码: A

文章编号: 2097-163X(2025)01-0072-10

Two-dimensional direction finding algorithm for sparse EMVS-MIMO radar based on RC-ESPRIT

WANG Jianlong^1,2 ， WANG Haoyu³ ， WANG Xidong^1,2 ， WEN Fangqing^1,2 ， SHI Junpeng⁴

1. Hubei Key Laboratory of Intelligent Vision Based Monitoring for Hydroelectric Engineering, Yichang 443002 , China

2. College of Computer and Information Technology, China Three Gorges University, Yichang 443002 , China

3. College of Information Systems Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450002 , China

4. College of Electronic Engineering, National University of Defense Technology, Hefei 230037 , China

摘要

电磁矢量传感器多输入多输出(electromagnetic vector sensor multiple-input multiple-output， EMVS-MIMO)雷达是一种新兴技术，可实现二维波达角（2D-DOA)）估计。针对单基地稀疏阵列EMVS-MIMO雷达，提出一种基于旋转不变性信号参数估计技术ESPRIT (estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)的降复杂度(reduced-complexity，RC)信号参数估计算法，能够实现对目标2D-DOA的快速估计。首先，对接收阵列数据进行RC处理，以消除阵列冗余数据；其次，利用ESPRIT可获得高分辨率的俯仰角估计，由于阵列的稀疏性，该估计值具有模糊性；再次，利用矢量叉积技术获得具有无模糊特性的2D-DOA；最后，利用无模糊的俯仰角估计对有周期模糊的估计进行解模糊，获得具有高分辨率、无模糊特性的俯仰角估计。该算法适用于大规模EMVS-MIMO雷达系统，且相比现有的ESPRIT-Like算法拥有更高的估计精度，通过MATLAB仿真验证了算法的有效性。

关键词

电磁矢量传感器 / 稀疏阵列 / DOA估计 / 降复杂度 / ESPRIT算法

Abstract

The electromagnetic vector sensor multiple-input multiple-output (EMVS-MIMO) radar is an emerging technology that can achieve the estimation of two-dimensional direction of arrival (2D-DOA). For the single-base sparse array EMVS-MIMO radar, a reduced-complexity(RC) signal parameter estimation algorithm based on ESPRIT（estimation of signal para-meters via rotational invariance techniques） was proposed, which can quickly estimate the target’s 2D-DOA. Firstly, the received array data was processed by RC to eliminate the redundancy of array data; secondly, the ESPRIT was utilized to obtain high-resolution pitch angle estimates, but due to the sparsity of the array, this estimate has ambiguity; thirdly, the vector cross-product technique was used to obtain a 2D-DOA with unambiguous charac-teristics; finally, the unambiguous pitch angle estimate was used to resolve the ambiguous estimate with periodic ambiguity, obtaining a high-resolution, unambiguous pitch angle estimate. This algorithm is suitable for large-scale EMVS-MIMO radar systems and has higher estimation accuracy compared to the existing ESPRIT-Like algorithm. The effectiveness of the algorithm has been verified through MATLAB simulation.

Keywords

EMVS / sparse array / DOA estimation / RC / ESPRIT algorithm

0 引言 1 本文算法 1.1 EMVS基础 1.2 信号模型 1.3 RC-ESPRIT算法 1.3.1 RC处理 1.3.2 有模糊的俯仰角估计 1.3.3 无模糊2D-DOA估计 1.4 俯仰角解模糊 2 算法分析 2.1 计算复杂度 2.2 克拉美罗界 3 仿真实验及结果分析 3.1 仿真散点图 3.2 阵元间距与RMSE 3.3 快拍数与RMSE 3.4 信噪比与RMSE 3.5 阵元数量与RMSE 3.6 阵元数量与运算时间 4 结束语

0 引言

在单基地多输入多输出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷达领域，波达角（direction of arrival，DOA）估计一直是一个研究焦点^[1-3]。在过去几十年中，出现了众多测向策略^[4-12]，特别是多重信号分类方法（multiple signal classification，MUSIC）、基于旋转不变性信号参数估计技术ESPRIT（estimation of signal parameters via rotational invariance techniques）尤为引人注目，其中，MUSIC算法利用信号子空间与噪声子空间相互正交的原理，通过谱峰搜索进行DOA估计。相对于复杂度高的谱搜索，ESPRIT能够通过极小的计算负担直接获取DOA估计的闭式解，因而更适合实时应用。

在实际测向系统中，通过增加阵元数目可以形成大的孔径，从而提高测向精度。但随着阵元数量的增加，所需的计算成本呈多项式阶数增长。实际上，MIMO雷达阵列数据具有较强的冗余性，这种冗余性极大限制了雷达系统实时进行信号处理的能力。利用降复杂度（reduced-complexity，RC）变换来消除阵列冗余数据是一种有效降低复杂度的方法，它能大幅降低计算成本。例如，文献^[13]提出了一种适用于单基地MIMO雷达的RC-ESPRIT算法进行DOA估计；文献^[14]针对单基地MIMO雷达提出了基于波束空间的RC-MUSIC算法；文献^[15]提出了一种RC的贝叶斯学习框架，有效降低了迭代运算的复杂度。值得注意的是，传统基于标量传感器阵列的MIMO雷达测向算法主要依赖于传感器阵元间的空间相位差特性。为实现无模糊DOA估计，阵元间距必须小于（或等于）半波长，否则会导致DOA估计模糊问题。但是较小的阵元数目难以形成较大的物理孔径，因而参数估计的精度受限，而较小的阵元间距可能引发复杂的阵元互耦问题。此外，对于传统的MIMO雷达而言，需要L型、圆型等复杂的阵列几何才可以进行二维（two-dimensional，2D）角度估计。

作为一种备受关注的替代方案，电磁矢量传感器（electromagnetic vector sensor，EMVS）阵列可有效克服上述缺陷。单个完备的共址EMVS包含6个电磁组件，每个组件独立感知电磁信号的4个特征：仰角、方位角、辅助极化角和极化相位差。实际上，单个EMVS阵元即可提供2D-DOA估计和极化感知能力，而EMVS-MIMO能有效结合EMVS阵列的2D-DOA感知能力和MIMO雷达的虚拟阵元优势。此外，极化特性使得雷达系统具有更好的抗干扰能力。文献^[16]首次提出具有任意几何配置的发射EMVS阵列和单个接收EMVS的单基地EMVS-MIMO雷达，其采用矢量叉积（vector cross-product，VCP）技术来估计2D-DOA，其中VCP 技术主要依赖于阵列中电场与磁场之间的坡印亭矢量唯一确定其波动方向。文献^[17]提出了多发多收的稀疏EMVS-MIMO雷达架构，其采用的阵列模型中的阵元间距大于半波长，并且采用平行因子分解方法实现多参数高分辨率估计。文献^[18]针对单基地EMVS-MIMO雷达框架，提出了一种基于相位补偿的2D-DOA估计算法，其适用于任意阵列。文献^[19]提出将EMVS-MIMO雷达的数据进行模型重构，以解决多径效应引起的协方差矩阵秩亏问题。文献^[20]提出双基地的EMVS-MIMO雷达的稀疏几何结构算法，该算法能提供高精度的2D-DOA估计。

虽然在角度估计中表现出优异的性能，但文献^[18-19]仅适用于多发单收的雷达配置。实际上，多发多收的阵列配置更贴合实际应用，并且上述所提算法在阵列规模增长时计算复杂度会急剧增大，因而实用性欠缺。本文提出了一种适用于单基地稀疏EMVS-MIMO雷达的RC-ESPRIT估计算法。所提算法在利用VCP技术获得无模糊但低分辨率的2D-DOA基础上，通过研究阵元间距与模糊度的关系，快速搜索最接近无模糊角度的结果^[20]，从而有效提升俯仰角的分辨率。

1 本文算法

1.1 EMVS基础

完备的极化共址EMVS通常包括3个正交电偶极子和3个正交磁环。在完全极化的横向电磁波入射EMVS的情况下，其中电磁波的特征由仰角（θ）、方位角（φ）、辅助极化角（γ）和极化相位差（η）控制，{θ，φ}即表示2D-DOA。EMVS阵元的电磁响应矢量^[21]为：

\begin{matrix} b ≜ U v \\ ≜ [\begin{matrix} c o s θ c o s φ s i n γ e^{j η} - s i n φ c o s γ \\ c o s θ s i n φ s i n γ e^{j η} + c o s φ c o s γ \\ - s i n θ s i n γ e^{j η} \\ - s i n φ s i n γ e^{j η} - c o s φ c o s θ c o s γ \\ c o s φ s i n γ e^{j η} - c o s θ s i n φ c o s γ \\ s i n θ c o s γ \end{matrix}] \end{matrix}

(1)

式中，U∈C^6×2是2D-DOA相关的矩阵，v∈C^2×1是极化相关的向量，

≜

表示定义，其中：

U = [\begin{matrix} c o s φ c o s θ & - s i n φ \\ s i n φ c o s θ & c o s φ \\ - s i n θ & 0 \\ - s i n φ & - c o s φ c o s θ \\ c o s φ & - s i n φ c o s θ \\ 0 & s i n θ \end{matrix}]

(2)

v = [\begin{matrix} s i n γ e^{j η} \\ c o s γ \end{matrix}]

(3)

定义电场矢量e=[b（1） b（2） b（3）]^T和磁场矢量m=[b（4） b（5） b（6）]^T，其中b（k）表示矢量b中的第k个元素，[·]^T表示转置。在电磁波传播中，矢量e和m是相互正交的。通过e和m的VCP，可得到坡印亭矢量h^[22]，它的3个元素代表电磁波传播方向上的方向余弦，即：

\begin{matrix} h ≜ \frac{e}{‖ e ‖_{F}^{2}} \circ \frac{m^{*}}{‖ m ‖_{F}^{2}} \\ ≜ [\begin{matrix} s i n θ c o s φ \\ s i n θ s i n φ \\ c o s θ \end{matrix}] \end{matrix}

(4)

其中，“

\circ

”表示向量叉积，[·]^*表示共轭，||·||_F表示Frobenius范数。显然，坡印亭矢量唯一确定了2D-DOA。

1.2 信号模型

本研究内容主要针对单基地EMVS-MIMO雷达系统，其示意图如图1所示。

图1单基地EMVS-MIMO雷达示意图

Fig.1Illustration of monostatic EMVS-MIMO radar

假设单基地EMVS-MIMO雷达由M₁个EMVS发射阵元和M₂个EMVS接收阵元组成，二者均为均匀线性阵列，阵元间距均为d=I×λ/2，其中λ为波长，I为正整数。雷达接收到来自K个远场目标的回波信号。

发射阵列的空域响应向量为a_t，_k=[1

e^{- j 2 π d s i n θ_{k} / λ}

···

e^{- j 2 (M_{1} - 1) π d s i n θ_{k} / λ}

]^T，接收阵列的空域响应向量为a_r，_k=[1

e^{- j 2 π d s i n θ_{k} / λ}

···

e^{- j 2 (M_{2} - 1) π d s i n θ_{k} / λ}

]^T。第m₁（m₁=1，2，···，M₁）个发射EMVS面向第k个远场目标发射的2×1基带归一化信号^[23]可表示为:

\begin{matrix} g_{m_{1}, k} (t) = U_{k}^{T} w_{m_{1}} q_{m_{1}} (t) \\ = ξ_{k} q_{m_{1}} (t) \\ = {[ξ_{H}, ξ_{V}]}^{T} q_{m_{1}} (t) \end{matrix}

(5)

式中，t表示快时间索引；U_k表示第k个2D-DOA相关矩阵，具体形式见式（2）；

w_{m_{1}} \in C^{6 \times 1}

是控制发射波形极化的权重向量；

q_{m_{1}} （ t ）

表示第m₁个发射EMVS阵元对应的波形；

ξ_{k} = U_{k}^{T} w_{m_{1}} \in C^{2 \times 1}

表示发射极化，ξ_H，ξ_V分别表示波形的磁场分量和电场分量。假设发射阵列发射M₁个相互正交波形

{\{q_{m_{1}} （ t ）\}}_{m_{1} = 1}^{M_{1}}

在脉冲持续时间内具有单位功率。对于任意的m′₁和m″₁，具有以下关系：

\int_{T} q_{m_{1}^{'}} (t) q_{m_{1}^{''}}^{*} (t) d t = δ (m_{1}^{'} - m_{1}^{''})

(6)

式中，T表示脉冲持续时间，δ表示单位冲激信号。第k个目标反射的回波可表示为：

g_{k} (t, l) = s_{k} (l) ξ_{k} a_{t, k}^{T} q (t)

(7)

式中，l表示脉冲指数，s_k（l）表示第k个目标在l脉冲处的复反射系数，波形矢量表示为q（t）=[q₁（t） q₂（t）···

q_{M_{1}} （ t ）

]^T。假设目标回波被EMVS阵列捕获，则含噪声阵列接收信号为：

x (t, l) = \sum_{k = 1}^{K} a_{r, k} \otimes [U_{k} Π_{k} g_{k} (t, l)] + w (t, l)

(8)

式中，Π_k表示2×2目标散射极化特征矩阵，它完整地描述了第k个目标的极化变化特性^[24-25]；w（t，l）表示高斯白噪声向量；

\otimes

表示克罗内克积。

x（t，l）可以展开为^[17]：

\begin{matrix} x (t, l) = \sum_{k = 1}^{K} a_{r, k} \otimes [U_{k} v_{k} s_{k} (l) a_{t, k}^{T} q (t)] + w (t, l) \\ = \sum_{k = 1}^{K} [a_{r, k} \otimes b_{k}] s_{k} (l) a_{t, k}^{T} q (t) + w (t, l) \end{matrix}

(9)

式中，v_k=Π_kξ_k表示第k个目标的接收极化矢量，由式（1）中的γ_k和η_k参数化。b_k=U_kv_k表示第k个目标的EMVS电磁响应矢量。对接收信号x（t，l）进行脉冲压缩，所对应的第m₁个发射波形的匹配滤波结果为：

\begin{matrix} x_{m_{1}} (l) = \int_{T} x (t, l) q_{m_{1}}^{*} (t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{K} s_{k} (l) a_{t, k} (m_{1}) [a_{r, k} \otimes b_{k}] + n_{m_{1}} (l) \end{matrix}

(10)

其中，

n_{m_{1}} （ l ） = \int_{T} w （ t ， l ） q_{m_{1}}^{*} （ t ） d t

。

将所有匹配的滤波输出堆叠成一个长矢量，令

x （ l ） = {[\begin{matrix} x_{1}^{T} （ l ） \dots x_{6 M_{1} M_{2}}^{T} （ l ） \end{matrix}]}^{T} \in C^{6 M_{1} M_{2} \times 1}

，得到:

\begin{matrix} x (l) = \sum_{k = 1}^{K} [a_{t, k} \otimes a_{r, k} \otimes b_{k}] s_{k} (l) + n (l) \\ = [A_{t} ⊙ A_{r} ⊙ B] s (l) + n (l) \end{matrix}

(11)

式中，

A_{t} = [\begin{matrix} a_{t ， 1} a_{t ， 2} \dots a_{t ， K} \end{matrix}] \in C^{M_{1} \times K}

表示发射阵列的空间响应矩阵，

A_{r} = [\begin{matrix} a_{r ， 1} a_{r ， 2} \dots a_{r ， K} \end{matrix}] \in C^{M_{2} \times K}

表示接收阵列的空间响应矩阵，B=[b₁ b₂···b_K]∈C^6×^K表示电磁响应矩阵，s（l）=[s₁（l）···s_K（l）]^T∈C^1×^K表示复反射矢量，

n （ l ） = {[\begin{matrix} n_{1}^{T} （ l ） n_{2}^{T} （ l ） \dots n_{6 M_{1} M_{2}}^{T} （ l ） \end{matrix}]}^{T} \in C^{6 M_{1} M_{2} \times 1}

表示噪声矢量，⊙表示Khatri-Rao积。当有L（即l=1，2，···，L）个脉冲时，可以得到数据矩阵

X = [\begin{matrix} x （ 1 ） x （ 2 ） \dots x （ L ） \end{matrix}] \in C^{6 M_{1} M_{2} \times L}

，式（10）可以写成矩阵形式：

\begin{matrix} X = [A ⊙ B] S^{T} + N \\ = C S^{T} + N \end{matrix}

(12)

式中，S=[s（1）s（2）···s（L）]^T∈C^L^×^K表示复反射矩阵，A=A_t⊙A_r，C=A⊙B，

N = [n （ 1 ） n （ 2 ） \dots n （ L ）] \in C^{6 M_{1} M_{2} \times L}

表示噪声矩阵。

1.3 RC-ESPRIT算法

1.3.1 RC处理

在EMVS-MIMO雷达系统中，由于发射和接收阵列的共址排列方式，部分虚拟响应矢量在空间上会产生重叠，导致空域响应矩阵A的每一列至多只有M₁+M₂-1个不同的元素^[26]，即A是冗余的。直接对有冗余信号的处理涉及大量无效计算，可以采取RC以及预白化处理来降低计算成本。存在一个变换矩阵

G \in C^{M_{1} M_{2} \times M_{1} + M_{2} - 1}

满足

G f (θ_{k}) = a_{t ， k} \otimes a_{r ， k}

，其中，

(13)

式中，N=M₁+M₂-1。

(14)

对矩阵A进行RC处理，使得F=G^HA，其中F=[f（θ₁） f（θ₂）···f（θ_K）]，[·]^H表示共轭转置。为了保证在完成RC处理之后得到的噪声依旧是白噪声，因此定义权重矩阵

W = G^{H} G \in C^{M_{1} M_{2} \times M_{1} M_{2}} ， H = W^{- （ 1 / 2 ）} G^{H} \otimes I_{6}

^[27]，其中（·）^-（1/2）表示将矩阵对角线上的元素取-（1/2）次幂。对X进行RC处理，得到信号Y为：

\begin{matrix} Y = H X \\ = H (A ⊙ B) S + H N \\ = (W^{1 / 2} F ⊙ B) S + (W^{- (1 / 2)} G^{H} \otimes I_{6}) N \end{matrix}

(15)

式中，I₆表示维度为6×6的单位矩阵。利用L个快拍，可获得Y的协方差矩阵R_Y的估计值为：

{\hat{R}}_{Y} = \frac{1}{L} \sum_{l = 1}^{L} Y (l) Y^{H} (l)

(16)

1.3.2 有模糊的俯仰角估计

由于白化处理后的噪声仍然为白噪声，因此可直接对R_Y进行特征分解获得信号子空间E_s，其由K个最大特征值所对应的K个特征向量所组成。显然，E_s与（W^1/2F⊙B）张成相同子空间。即在满秩矩阵T₁∈C^K^×^K满足以下关系

E_{s} = [W^{1 / 2} F ⊙ B] T_{1}

(17)

定义选择矩阵J=W^-（1/2）

\otimes

I₆，左乘E_s可得

\begin{matrix} E = J E_{s} \\ = [W^{- (1 / 2)} \otimes I_{6}] [W^{1 / 2} F ⊙ B] T_{1} \\ = [F ⊙ B] T_{1} \end{matrix}

(18)

定义选择矩阵J₁=[I_N_-1 0_N_-1×1]

\otimes

I₆，J₂=[0_N_-1×1 I_N_-1]

\otimes

I₆，则存在

J_{1} [F ⊙ B] = J_{2} [F ⊙ B] Φ

(19)

其中，

Φ = d i a g \{[\begin{matrix} e^{- j 2 π d s i n θ_{1} / λ} \dots e^{- j 2 π d s i n θ_{K} / λ} \end{matrix}]\}

(20)

式中，diag{a，b，c}表示对角元素为a，b，c的对角矩阵。将式（18）代入式（19），可以得到:

J_{1} E T_{1}^{- 1} = J_{2} E T_{1}^{- 1} Φ

(21)

式中，[·]^-1表示矩阵的逆。式（21）等同于下式：

{(J_{2} E)}^{†} J_{1} E = T_{1}^{- 1} Φ T_{1}

(22)

式中，

†

表示求矩阵的广义逆。显然，对

{(J_{2} E)}^{†} J_{1} E

进行特征值分解，可获得T₁的估计（用

{\hat{T}}_{1}

表示）和Φ的估计（表示为

{\hat{Φ}}_{}

）。此时，俯仰角可以通过下式获得：

s i n {\hat{θ}}_{1, k} = - a n g l e ({\hat{Φ}}_{k}) λ / 2 π d

(23)

式中，

{\hat{θ}}_{1 ， k}

表示通过旋转不变性获得的第k个目标仰角估计值，

{\hat{Φ}}_{k}

表示矩阵

\hat{Φ}

的对角线上的第k个元素，angle（·）表示取复数相角。由于所研究的阵列的阵元间距大于半波长，所以估计的角度具有周期模糊性。

1.3.3 无模糊2D-DOA估计

定义

J_{t ， q} = I_{N} \otimes i_{6 ， q}^{row} ， q \in {1，2 ， \dots ， 6}

，其中

i_{6 ， q}^{row}

表示维度为p×p的单位矩阵I_p的第q行。则存在以下旋转不变性：

J_{t, q} [F ⊙ B] = J_{t, 1} [F ⊙ B] Q^{(q)}

(24)

式中，Q^（^q^）=diag{[α^（^q^）₁ α^（^q^）₂···α^（^q^）_K]}， α^（^q^）_k=b_k（q）/b_k（1），其中b_k（q）表示第k个电磁矢量中的第q个元素。

将式（24）与式（18）结合可得：

J_{t, q} E T_{1}^{- 1} = J_{t, 1} E T_{1}^{- 1} Q^{(q)}

(25)

即

{(J_{t, 1} E)}^{†} J_{t, q} E = T_{1}^{- 1} Q^{(q)} T_{1}

(26)

显然，Q^（^q^）的估计值可以通过下式获得

{\hat{Q}}^{(q)} = T_{1}^{- 1} {(J_{t, 1} E)}^{†} J_{t, q} E T_{1}

(27)

式中，q=1，2，···，6。通过估计获得6个矩阵，分别将6个矩阵取对角线元素可以得到6个向量，将这些向量以行的形式堆叠成一个新的矩阵，这个新矩阵的第k列的前三行后三行可表示为第k个目标归一化后的电场矢量和磁场矢量e′_k

≜

{\hat{α}}_{k}^{2}

{\hat{α}}_{k}^{3}

]^T，m′_k

≜

[

{\hat{α}}_{k}^{4}

{\hat{α}}_{k}^{5}

{\hat{α}}_{k}^{6}

]^T，其中

{\hat{α}}_{k}^{p}

表示α^p_k的估计。它仍然满足式（4）中的关系^[28]：

\begin{matrix} {\hat{h}}_{k} ≜ \frac{e_{k}^{'}}{{‖e_{k}^{'}‖}_{F}^{2}} \circ \frac{m_{k}^{'}^{*}}{{‖m_{k}^{'}‖}_{F}^{2}} \\ ≜ [\begin{matrix} s i n θ_{k} c o s φ_{k} \\ s i n θ_{k} s i n φ_{k} \\ c o s θ_{k} \end{matrix}] \end{matrix}

(28)

其中，

{\hat{h}}_{k} &

表示h_k的估计。

根据三角函数关系可获得2D-DOA的估计为：

\{\begin{matrix} {\hat{θ}}_{2, k} = a r c s i n \sqrt{{({\hat{h}}_{k} (1))}^{2} + {({\hat{h}}_{k} (2))}^{2}} \\ {\hat{φ}}_{k} = a r c t a n ({\hat{h}}_{k} (2) / {\hat{h}}_{k} (1)) \end{matrix}

(29)

式中，

{\hat{θ}}_{2 ， k}

表示通过VCP获得的第k个目标仰角的估计，

{\hat{φ}}_{k}

表示通过VCP获得的第k个目标的方位角。

虽然该方法具有无模糊性，但仅利用VCP技术进行测向的分辨率较低，可结合空间域信息来进一步提高测向分辨率。

1.4 俯仰角解模糊

众所周知，函数y=e^j^I^πx（I为整数）具有周期性，其为2/I。对于任何y∈[-π，π），如果I=1，则有一个x∈[-1，1），它与y是一对一映射。但是，如果 I≥2，对于给定的y∈[-π，π），则有I个可能的x∈[-1，1）映射到y。例如，当I=4且x=0.1时，则对于e^j4π^x=e^j0.4π，此时x的解集为{-0.9，-0.4，0.1，0.6}，显然产生了周期性模糊^[29]，如图2所示。

图2解模糊角度估计示意图

Fig.2Illustration of deblurring angle estimation

图2中，绿色标记表示具有周期性的模糊的角度估计值，由上例可知因周期性求解出4个估计值，红色标记表示无模糊的角度估计。由于所研究的阵列的阵元间距大于半波长，称为稀疏阵列，利用空域信息估计的角度具有周期模糊性。并且该阵列有效孔径更大，估计的俯仰角精度更高。

由于阵元间距为I×λ/2， I为正整数，根据三角函数的周期性，包括式（23）中估计的值在内，共存在I个可能的仰角估计值。理论上，第i（i=1，2，···，I）个可能的

θ_{k}^{（ i ）}

与估计

{\hat{θ}}_{1 ， k}

之间的关系^[20]可以表示为：

s i n θ_{k}^{(i)} = s i n {\hat{θ}}_{1, k} - 2 (i - 1) / I

(29)

因此，真实仰角可以通过最接近

{\hat{θ}}_{2 ， k}

的

θ_{k}^{（ i ）}

来确定，即:

s i n {\hat{θ}}_{k} = m i n |s i n θ_{k}^{(i)} - s i n {\hat{θ}}_{2, k}|

(30)

本文将获取到的无模糊角度的算法定义为RC-ESPRIT，将进一步细致处理的算法定义为RC-ESPRIT Pro。因为空域信息只包含俯仰角，在解模糊的过程中不存在方位角。

2 算法分析

2.1 计算复杂度

复数乘法次数是衡量估计算法复杂度的一个重要指标。本算法的主要复杂度集中在求解协方差以及对协方差进行特征值分解。可通过对比ESPRIT-Like^[21]算法进行详细说明，ESPRIT-Like算法在求解协方差矩阵和进行特征值分解时，共计需要执行

O (M_{1}^{2} M_{2}^{2} L^{2} + 6^{3} M_{1}^{3} M_{2}^{3})

次复数乘法，而本文提出的RC-ESPRIT算法在求解协方差矩阵和进行特征值分解时共计需要O（（M₁+M₂-1）²L²+6³（M₁+M₂-1）³）次复数运算，这清楚地表示本文算法在计算复杂度方面具有显著优势。RC-ESPRIT Pro算法在俯仰角的解模糊过程中增加了一定的计算复杂度，所以其算法复杂度为O（（M₁+M₂-1）²L²+6³（M₁+M₂-1）³+（6+N+L）K²）。

2.2 克拉美罗界

克拉美罗界（Cramér-Rao bound，CRB）是无偏估计器方差的下限，即估计器的方差只能无限接近CRB，而不能低于这个限制。令2D-DOA向量为

Θ ≜ {[θ^{T} ， φ^{T}]}^{T}

，其中θ=[θ₁，···，θ_K]^T，φ=[φ₁，···，φ_K]^T。2D-DOA估计相关的CRB由式（31）^[30]给出：

C_{C R B} = \frac{σ^{2}}{2 L} {\{R e [({\tilde{C}}^{H} Π_{c}^{⊥} \tilde{C}) \oplus P^{T}]\}}^{- 1}

(31)

式中，

\tilde{C} = [\begin{matrix} \frac{\partial c_{1}}{\partial θ_{1}} \dots \frac{\partial c_{K}}{\partial θ_{K}} \frac{\partial c_{1}}{\partial φ_{1}} \dots \frac{\partial c_{K}}{\partial φ_{K}} \end{matrix}]

，c_k=a_t（θ_k）

\otimes

a_r（θ_k）

\otimes

b_k；

Π_{c} = I_{6 M} - C C^{†}

，

\frac{\partial c_{k}}{\partial φ_{k}} = a_{t} (θ_{k}) \otimes a_{r} (θ_{k}) \otimes \frac{\partial b_{k}}{\partial φ_{k}}

，

\frac{\partial c_{k}}{\partial θ_{k}} = a_{t} (θ_{k}) \otimes a_{r} (θ_{k}) \otimes \frac{\partial b_{k}}{\partial θ_{k}} + \frac{\partial (a_{t} (θ_{k}) \otimes a_{r} (θ_{k}))}{\partial θ_{k}} \otimes b_{k}

，b_k表示为：

b_{k} ≜ [\begin{matrix} c o s θ_{k} c o s φ_{k} s i n γ_{k} e^{j η_{k}} - s i n φ_{k} c o s γ_{k} \\ c o s θ_{k} s i n φ_{k} s i n γ_{k} e^{j η_{k}} + c o s φ_{k} c o s γ_{k} \\ - s i n θ_{k} s i n γ_{k} e^{j η_{k}} \\ - s i n φ_{k} s i n γ_{k} e^{j η_{k}} - c o s φ_{k} c o s θ_{k} c o s γ_{k} \\ c o s φ_{k} s i n γ_{k} e^{j η_{k}} - c o s θ_{k} s i n φ_{k} c o s γ_{k} \\ s i n θ_{k} c o s γ_{k} \end{matrix}]

其中，M=M₁M₂，Re·表示提取矩阵的实部，

\oplus

表示哈达玛积，

P = \frac{1}{L} \sum_{l = 1}^{L} s （ l ） s^{H} （ l ）

。

3 仿真实验及结果分析

为了验证本文算法的有效性，采用了200次蒙特卡洛实验进行性能评估。仿真的软件设备为MATLAB2022版本，硬件电脑的CPU型号为Intel i5-13500H且运行内存为32 G。在仿真实验中，假设EMVS-MIMO雷达系统配备有M₁个发射EMVS阵元和M₂个接收EMVS阵元，采用L个快拍数据。假设有K=3个远场目标，其参数分别为θ=（12°，36°，50°），φ=（10°，35°，65°），γ=（12°，39°，63°），η=（33°，47°，21°）。阵元间距为I×λ/2，且I=10。可以将式（12）中的信号X分割成以下形式：

X = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ ⋮ \\ X_{M} \end{matrix}] = [\begin{matrix} B D_{1} (A) \\ B D_{2} (A) \\ ⋮ \\ B D_{M} (A) \end{matrix}] S^{T} + [\begin{matrix} N_{1} \\ N_{2} \\ ⋮ \\ N_{M} \end{matrix}]

(32)

定义SNR^[29]为：

S_{S N R} = 10 \times l g (\frac{\sum_{m = 1}^{M} {‖B D (A_{m}) S^{T}‖}_{F}^{2}}{\sum_{m = 1}^{M} {‖N_{m}‖}_{F}^{2}})

(33)

采用均方根误差（root mean square error，RMSE）评价估计精度^[30]。

3.1 仿真散点图

图3是所提RC-ESPRIT Pro算法的散点图结果，其中M₁=6，M₂=10，L=200，I=10，S_SNR=10 dB。由散点图可知，所提算法能够正确地估计目标的2D-DOA，并通过满秩矩阵T₁对相关结果进行正确配对。

图3RC-ESPRIT Pro散点图

Fig.3RC-ESPRIT Pro scatter plot

3.2 阵元间距与RMSE

图4展示了本文所提的2种算法以及对比算法ESPRIT-Like^[21]在L=200、S_SNR=10 dB以及M₁=6、M₂=10的条件下，随阵元间距增加的RMSE曲线。可以看出，当阵元间距大于半波长并逐渐增大时，由于这3种算法均采用了EMVS中的VCP技术，因此在效果上没有显著差异。即使在阵元间距不受半波长约束的情况下，亦可得到无模糊的2D-DOA估计。同时由于RC-ESPRIT Pro算法中加入了解模糊的步骤，明显可见RMSE相对更低，在算法性能上RC-ESPRIT Pro算法要比另外2种算法更佳。

图4随阵元间距变化的RMSE图

Fig.4RMSE versus array element distance

3.3 快拍数与RMSE

图5显示了本文所提的2种算法与对比算法ESPRIT-Like^[21]在M₁=6、M₂=10、S_SNR=10 dB条件下，随着快拍数变化的RMSE曲线。观察到RC-ESPRIT算法与ESPRIT-Like算法的性能相近。由于RC-ESPRIT Pro算法对俯仰角进行了精细估计，所以在不同快拍数下始终比ESPRIT-Like和RC-ESPRIT算法具有更优越的性能。然而，当快拍数过低时，由于信息丢失以及混叠等原因，3种算法均无法正确地估计角度。当快拍数达到20以后，角度估计的精度会显著改善，且随着快拍数增加，所有算法2D-DOA估计的精度均会随之提高。

图5随快拍数变化的RMSE图

Fig.5RMSE versus the number of snapshots

3.4 信噪比与RMSE

图6展示了本文所提2种算法与ESPRIT-Like算法性能随信噪比变化的RMSE曲线，其中M₁=6，M₂=10，L=200。观察到在低信噪比的环境下，由于噪声可能掩盖信号，因此3种算法均无法正确地估计2D-DOA。随着信噪比的增加，所有算法性能均会被改善。值得注意的是，VCP技术是一种依赖信号结构和几何特性的算法。当信号的噪声较低时，冗余信息中可能包含了重要的空间或阵列特征，这些特征可以帮助 VCP 方法更好地估计波达方向。所以RC-ESPRIT算法的曲线在信噪比达到一定值时，表现不如ESPRIT-Like算法，而RC-ESPRIT Pro算法俯仰角的估计值是高精度的，所以其RMSE曲线随着信噪比的变化始终低于ESPRIT-Like算法。这表明在不同信噪比条件下，RC-ESPRIT Pro算法相对于ESPRIT-Like算法更为精确和可靠。

图6随信噪比变化的RMSE图

Fig.6RMSE versus SNR

3.5 阵元数量与RMSE

图7展示了3种算法在L=200、S_SNR=10 dB的条件下，RMSE随阵元数量变化的曲线。在实验中为方便控制变量，图中M=M₁=M₂，可以观察到，随着阵元数量的增加，RC-ESPRIT算法的RMSE逐渐接近ESPRIT-Like算法，说明去掉冗余数据后可以改善估计效果。而RC-ESPRIT Pro算法的RMSE始终低于ESPRIT-Like算法。这表明在给定的信噪比和快拍数条件下，RC-ESPRIT Pro算法相对于ESPRIT-Like算法性能更加突出。其目标参数估计的效果随着阵元数量增加而得到更好的维持，进一步验证了RC-ESPRIT Pro算法相比ESPRIT-Like算法在目标参数估计方面的可靠性和优越性。

图7随阵元数量变化的RMSE图

Fig.7RMSE versus the number of array elements

3.6 阵元数量与运算时间

图8显示了在L=200、S_SNR=10 dB条件下，不同算法的平均单次运算时间随阵元数量增加的变化趋势（图中M的含义与图7相同）。可以观察到，随着阵元数量的增加，ESPRIT-Like算法的运算时间显著增加，并且远高于RC-ESPRIT和RC-ESPRIT Pro算法。RC-ESPRIT和RC-ESPRIT Pro算法的运算时间增长较为平缓，两者之间的差距较小，但均明显低于ESPRIT-Like算法。RC-ESPRIT Pro在阵元数量较小时运算时间最长，是因为在阵列信息冗余少的情况下，加入RC处理和解模糊处理会加大计算复杂度。因为俯仰角解模糊的原因，RC-ESPRIT的运算时间始终低于RC-ESPRIT Pro。这表明，本文提出的RC-ESPRIT和RC-ESPRIT Pro算法适用于大规模阵列，并且RC-ESPRIT Pro还可以进行高精度的俯仰角估计。

图8随阵元数量变化的运行时间图

Fig.8Runtime versus the number of array elements

4 结束语

本文提出了一种基于RC变换的单基地EMVS-MIMO雷达系统的2D-DOA估计方法。所提方法首先对阵列接收到的信号进行RC处理，以消除冗余信息；接着，利用ESPRIT来估计出高精度但存在模糊性的俯仰角；随后，运用VCP技术确定出无模糊的2D-DOA估计；最后，综合考虑并消除俯仰角的模糊性，以获得更准确的俯仰角信息。本文所提算法在角度估计精度上比现有ESPRIT-Like方法更高，适用于大规模阵列，但目前只能获得俯仰角的精细估计，未来可应用L型阵列来弥补本算法的缺陷。

图1单基地EMVS-MIMO雷达示意图

Fig.1Illustration of monostatic EMVS-MIMO radar

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图2解模糊角度估计示意图

Fig.2Illustration of deblurring angle estimation

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图3RC-ESPRIT Pro散点图

Fig.3RC-ESPRIT Pro scatter plot

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图4随阵元间距变化的RMSE图

Fig.4RMSE versus array element distance

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图5随快拍数变化的RMSE图

Fig.5RMSE versus the number of snapshots

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图6随信噪比变化的RMSE图

Fig.6RMSE versus SNR

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图7随阵元数量变化的RMSE图

Fig.7RMSE versus the number of array elements

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图8随阵元数量变化的运行时间图

Fig.8Runtime versus the number of array elements

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图1单基地EMVS-MIMO雷达示意图

Fig.1Illustration of monostatic EMVS-MIMO radar

图2解模糊角度估计示意图

Fig.2Illustration of deblurring angle estimation

图3RC-ESPRIT Pro散点图

Fig.3RC-ESPRIT Pro scatter plot

图4随阵元间距变化的RMSE图

Fig.4RMSE versus array element distance

图5随快拍数变化的RMSE图

Fig.5RMSE versus the number of snapshots

图6随信噪比变化的RMSE图

Fig.6RMSE versus SNR

图7随阵元数量变化的RMSE图

Fig.7RMSE versus the number of array elements

图8随阵元数量变化的运行时间图

Fig.8Runtime versus the number of array elements

图(8)

引用本文

王建龙,汪皓宇,王习东，等. 基于RC-ESPRIT的稀疏EMVS-MIMO雷达二维测向算法[J]. 信息对抗技术，2025, 4（1）：72-81.

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WANG Jianlong, WANG Haoyu, WANG Xidong, et al. Two-dimensional direction finding algorithm for sparse EMVS-MIMO radar based on RC-ESPRIT[J]. Information Countermeasure Technology, 2025, 4（1）：72-81.（in Chinese）

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图1单基地EMVS-MIMO雷达示意图

Fig.1Illustration of monostatic EMVS-MIMO radar

图2解模糊角度估计示意图

Fig.2Illustration of deblurring angle estimation

图3RC-ESPRIT Pro散点图

Fig.3RC-ESPRIT Pro scatter plot

图4随阵元间距变化的RMSE图

Fig.4RMSE versus array element distance

图5随快拍数变化的RMSE图

Fig.5RMSE versus the number of snapshots

图6随信噪比变化的RMSE图

Fig.6RMSE versus SNR

图7随阵元数量变化的RMSE图

Fig.7RMSE versus the number of array elements

图8随阵元数量变化的运行时间图

Fig.8Runtime versus the number of array elements

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