一种基于最大相关熵准则的超视距目标直接定位算法

杜鑫苹，夏威; DU Xinping; XIA Wei

doi: 10.12399/j.issn.2097-163x.2025.02.003

杜鑫苹¹ ，夏威^1,2

1. 电子科技大学信息与通信工程学院，四川成都 611731

2. 新疆大学计算机科学与技术学院（网络空间安全学院），新疆乌鲁木齐 830046

基金项目: 国家自然科学基金资助项目（61871104）

详细信息

作者简介

杜鑫苹,男，2001年生，硕士研究生，研究方向为信号处理、直接定位技术和辐射源识别技术E-mail: xinpingdu@std.uestc.edu.cn;

夏威,男，1980年生，博士，副教授,博士研究生导师，研究方向为统计信号处理和阵列信号处理E-mail: wx@uestc.edu.cn

通讯作者

夏威，E-mail: wx@uestc.edu.cn

中图分类号: TN911.72

文献标识码: A

文章编号: 2097-163X(2024)02-0044-11

Direct position determination for over-the-horizon emitters based on the maximum correntropy criterion

DU Xinping¹ ， XIA Wei^1,2

1. School of Information and Communication Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731 , China

2. School of Computer Science and Technology (School of Cyberspace Security), Xinjiang University, Urumqi 830046 , China

摘要

超视距（over-the-horizon，OTH）无源定位在战略预警、海上导航、无线电频谱监测与管理等领域均具有重要应用和研究价值。在脉冲噪声环境下，可以考虑采用多个运动的单天线接收机实现对OTH短波辐射源的定位。为此，基于准抛物线（quasi-parabolic，QP）电离层模型，在其参数部分未知的情况下，提出了一种基于最大相关熵准则（maximum correntropy criterion，MCC）的超视距直接定位（direct position determination，DPD）算法，实现对目标位置和电离层模型参数的联合估计。针对非凸目标函数求解计算复杂度高的问题，提出了应用增强型鲸鱼优化算法（enhanced whale optimization algorithm，E-WOA），以较低的计算复杂度实现了高效解算。仿真实验验证了所提算法良好的定位性能；此外，在噪声脉冲性较强的环境下，所提算法在低广义信噪比（generalized signal-to-noise ratio，GSNR）时同样能获得较高的定位精度。

关键词

超视距定位 / 直接定位 / 准抛物线电离层模型 / 脉冲噪声 / 最大相关熵准则

Abstract

Over-the-horizon (OTH) passive localization has significant usage and research value in strategic early warning, maritime navigation, radio spectrum monitoring and management. In the context of impulsive noise, this paper considered using multiple moving single antenna receivers to achieve localization of OTH emitters which transmit shortwave signals. To this end, based on the quasi-parabolic (QP) ionosphere model with partially unknown parameters, a direct position determination(DPD) algorithm based on the maximum correntropy criterion (MCC) was proposed to jointly estimate the position of emitters and ionosphere parameters. Furthermore, to address the issue of the high computational complexity in solving the non-convex cost function, an enhanced whale optimization algorithm (E-WOA) was proposed, achieving efficient solutions with lower computational complexity. Simulation experiments have validated the good localization performance of the proposed algorithm. Moreover, in environments with strong impulsive noise, the proposed algorithm can achieve higher positioning accuracy under low generalized signal-to-noise ratio (GSNR) conditions.

Keywords

OTH localization / DPD / QP ionosphere model / impulsive noise / MCC

0 引言 1 问题描述 2 OTH DPD算法 2.1 算法推导 2.2 算法求解 2.3 算法复杂度分析 3 仿真实验与分析 3.1 电离层模型参数已知时MCC-ODPD算法定位性能分析 3.1.1 随GSNR变化的定位性能 3.1.2 最大迭代次数l_max和候选点数U不同时所提算法的定位性能 3.2 电离层模型参数部分未知时算法性能分析 3.2.1 参数部分未知时GSNR对MCC-ODPD算法性能的影响 3.2.2 核长σ对MCC-ODPD算法性能的影响 3.2.3 特征指数α对MCC-ODPD算法性能的影响 4 结束语

0 引言

无源定位利用目标辐射或反射的信号确定目标位置^[1]，通常隐蔽性能良好，抗干扰能力强^[2-3]。随着短波通信技术的发展，对短波辐射源目标的超视距（over-the-horizon，OTH）无源定位技术受到日益广泛的关注。由于短波信号通过电离层传输^[4-5]，OTH无源定位技术能突破地球曲率的限制，实现对数百千米外的辐射源目标的定位，因此，在战略预警和海上导航等领域有着重要的应用^[4，6]。

短波信号的电离层传输信号模型，是推导短波OTH无源定位算法的重要前提和基础。除了经典的平面反射模型外^[4，6]，常见的电离层模型还包括Chapman模型^[7]、国际参考电离层（international reference ionosphere，IRI）模型^[8]和准抛物线（quasi-parabolic，QP）模型^[9]等。Chapman模型可描述电离层的形成机制，并在一定假设条件下描述电离层的电子密度分布，但难以描述短波信号在电离层中的传输。根据大量实测数据建立的IRI经验模型，尽管能提供电离层特征参量的全球平均值，但未给出短波传输路径或过程的闭式表达式。值得注意的是，根据电离层距离地球表面的高度，电离层由低到高可分为D、E、F₁、F₂等多层。QP电离层模型由电子密度随高度变化的抛物线方程定义，包含了电子密度峰值对应高度、临界频率（能在该层反射的信号入射频率的最大值）等重要参数，可以闭式方式描述短波信号通过包括F₂层在内的单层电离层的传输。由于电离层的F₂层电子密度较大，对短波信号具有较强的反射能力，因而短波信号大多可通过该层实现超远距离传输^[10]。在QP电离层模型^[9]中，通常利用电离层反演技术^[11]估计其电子密度峰值对应高度的大致范围，且假设F₂层临界频率是先验已知的，或者可事先获得该频率较准确的估计^[12]。

与经典的无源定位技术^[13-14]类似，OTH无源定位技术通常可分为两步法和直接定位（direct position determination，DPD）2类。在两步法中，在获得接收信号的到达时差（time difference of arrival，TDOA）^[15-16]或到达角（angle of arrival，AOA）^[17]等参数估计的基础上，进一步完成目标位置的解算。基于QP电离层模型，利用辐射源短波信号到达不同接收机的时差，构造并优化基于极大似然（maximum likelihood，ML）准则的非凸目标函数，可获得性能接近于理论下界的TDOA OTH位置解算结果^[16]。由于该目标函数与辐射源位置呈高度非线性关系，该方法需从一个合适的初始目标位置出发，并依次采用坐标下降和拟牛顿法迭代实现目标函数的优化。然而，不恰当的初始目标位置，则可能导致较大的定位误差。针对该问题，考虑QP电离层模型对定位问题的约束条件，应用广义投影梯度下降（generalized projected gradient descent，GPGD），优化基于ML准则构造的非凸目标函数，能获得比文献^[16]所提算法更高的定位精度，且放宽了对初始目标位置准确性的要求^[18]。然而，该算法求解目标位置时易陷入局部最优，进而导致定位性能的恶化。研究表明，应用协同梯度投影（collaborative gradient projection，CGP）算法，并结合粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法与多个梯度投影优化模型，以实现非凸目标函数的全局优化，可以获得更好的定位性能^[19]。值得注意的是，上述OTH定位方法中的QP电离层模型合理简化了短波传输过程，即假设短波以单径形式传输^[9]。此外，上述方法均假设接收机与目标均相对静止，且均需先验已知QP电离层模型参数。事实上，仿真实验表明，QP电离层模型中的任一参数（如临界频率、电离层相对地球表面高度等）的测量误差将导致文献^[19]所提算法的定位性能下降。

另一方面，与经典视距DPD算法类似^[20]，OTH DPD直接利用接收信号估计目标位置，而无须估计中间参数，定位精度高且鲁棒性强，在低信噪比情况下性能更优^[4，6]。在辐射源信号波形已知的情况下，文献^[4]采用牛顿法迭代优化基于ML准则构造的OTH DPD算法的目标函数。仿真结果表明，与两步法相比，该算法对OTH辐射源目标具有更高的定位精度。然而，上述OTH DPD算法并未充分考虑不可避免的电离层虚高^[4]（电离层反射面距离地球表面的高度）测量误差。在电离层虚高的测量误差服从高斯分布的假设条件下，文献^[6]推导了关于目标位置和虚高参数的优化模型，并应用牛顿法迭代求解目标函数。该算法在低信噪比情况下能获得比两步法更高的定位精度。上述算法均利用静止阵列定位辐射源目标。值得注意的是，基于简化的平面反射的电离层模型，仅考虑有限的搜索范围，文献^[4]考虑了凸目标函数的优化。然而，通常情况下（例如，缺乏先验知识情况下更大的搜索范围，考虑能更准确地建模电离层传输特性的电离层模型），OTH DPD问题大多涉及非凸目标函数的优化。尽管网格搜索^[13]是优化非凸目标函数的一种可选求解方法，精细的网格搜索可得到准确的目标位置估计，但通常计算量较大。启发式优化算法^[21-22]，则是一种计算效率更高的替代方案。考虑利用多个运动的单天线接收机定位静止辐射源目标，应用引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）的天波OTH DPD方法（sky-wave OTH DPD based on the GSA，GSA-SODPD），迭代地优化非凸目标函数，在与基于网格搜索的OTH DPD算法（OTH DPD based on the grid search，GS-ODPD）性能相当时计算效率更高^[23]。在启发式优化算法中，鲸鱼优化算法（whale optimization algorithm，WOA）由于其简单而有效的搜索机制受到广泛关注^[24]。与GSA相比，WOA在解决优化问题时能更好地避免陷入局部最优，且鲁棒性更强^[21]。作为其变体之一，增强型WOA（enhanced WOA，E-WOA）进一步克服了WOA种群多样性低和搜索策略差的缺点^[25]，全局搜索能力强，收敛速度快，能更有效地求解高度非线性、非凸优化问题。值得注意的是，上述OTH DPD算法均基于经典的平面反射的电离层模型，而该模型仅考虑了电离层虚高对短波信号传输过程的影响^[4]。与此不同，QP电离层模型考虑了更多电离层参数，能更全面、精准地描述短波通过电离层的传输过程^[26]。目前，尚无基于QP电离层模型推导的OTH DPD算法。此外，上述OTH DPD算法均假设接收信号仅受加性高斯噪声污染。

事实上，受大气噪声和人为因素影响，短波信号在通过电离层传输时，通常也会受到具有尖峰脉冲特性的脉冲噪声的污染^[27-28]。最近，针对视距（line of sight，LOS）定位场景，文献^[29]采用对称α-稳定（symmetric α-stable，SαS）分布建模脉冲噪声，通过优化基于最大相关熵准则^[30]（maximum correntropy criterion，MCC）构造的非凸目标函数，获得了较有效的视距辐射源目标的DPD。然而，考虑辐射源信号通过电离层传输的OTH定位场景，该方法可能失效，且未提供非凸目标函数的优化方案。

本文基于QP电离层模型，提出了一种基于MCC的超视距直接定位算法（OTH DPD based on the MCC，MCC-ODPD），实现了对目标位置和电离层参数的联合估计。在脉冲噪声环境下，考虑电离层模型参数部分未知的情况，利用多个运动单天线接收机以实现OTH短波辐射源目标的DPD。

1 问题描述

考虑在OTH场景下，使用M个运动的单天线接收机，在K个时隙中截获位于p∈R³的辐射源发射的短波窄带信号，以实现对辐射源目标的定位。已知接收机m在第k个时隙的位置和速度分别为p_m_，_k∈R³和v_m_，_k∈R³。假设各接收机之间在时间和频率上同步^[13]。

考虑使用QP电离层模型描述短波信号在F₂层电离层中的传输^[9]。不失一般性，假设短波信号在F₂层电离层中单跳传输^[16，19]，即信号经电离层一次反射到达接收机。短波信号的传输过程如图1所示，R₀是地球半径，R_b是F₂层底部与地心间的距离，R_m是F₂层中电子密度峰值处与地心间的距离；

w ≜ R_{m} - R_{b}

是F₂层的半层厚度。对于接收机m，用β_m_，_k表示第k个时隙内辐射源目标发射的电磁波与地表间的夹角。相应地，将该无线电信号射线与电离层底部间的夹角记为φ_m_，_k。根据折射定律^[18]，有cos φ_m_，_k=R₀cosβ_m_，_k/R_b。为简化讨论，本文假设电离层特性在短时间内保持稳定，即QP电离层模型各参数R_m、w保持不变^[18-19]。本文考虑其中任一参数已知，而另一参数未知的情况（不失一般性，本文考虑w已知，而R_m未知的情况）。

图1短波信号传输过程

Fig.1The transmission of shortwave signals

根据文献^[9]，在第k个时隙，从辐射源目标到接收机m的信号传输路程长度

\begin{matrix} G_{m, k} (β_{m, k}, R_{m}) \\ = 2 \{R_{b} s i n φ_{m, k} - R_{0} s i n β_{m, k} + \frac{1}{μ} [- R_{b} s i n φ_{m, k} \\ - \frac{v}{4 \sqrt{μ}} l n \frac{v^{2} - 4 μ ξ_{m, k}}{{(2 μ R_{b} + v + 2 R_{b} \sqrt{μ} s i n φ_{m, k})}^{2}}]\} \end{matrix}

(1)

和二者间的地球表面距离

\begin{matrix} L_{m, k} (β_{m, k}, R_{m}) \\ = 2 R_{0} \{φ_{m, k} - β_{m, k} - \frac{R_{0} c o s β_{m, k}}{2 \sqrt{ξ_{m, k}}} \\ l n \frac{v^{2} - 4 μ ξ_{m, k}}{4 ξ_{m, k} {(s i n φ_{m, k} + \frac{\sqrt{ξ_{m, k}}}{R_{b}} + \frac{u}{2 \sqrt{ξ_{m, k}}})}^{2}}\} \end{matrix}

(2)

均为β_m_，_k和R_m的函数。其中，

ξ_{m ， k} ≜ {(R_{b} R_{m} / （ λ w ）)}^{2} - R_{0}^{2} {c o s}^{2} β_{m ， k}

、

μ ≜ 1 - 1 / λ^{2} + {(R_{b} / （ λ w ）)}^{2}

、

u ≜ - 2 R_{m} R_{b}^{2} / (λ^{2} w^{2})

均与未知的电离层参数R_m有关；

λ ≜ f_{c} / f_{F}

是短波信号载频f_c与电离层F₂层的临界频率f_F的比值。假设先验已知λ，通常λ＞1^[18-19，31]。

针对QP模型，仰角β_m_，_k通常需满足一定的约束条件。图2给出了不同λ取值情况下， L_m_，_k关于β_m_，_k连续变化的曲线，其中，w=100 km，R_m=6 700 km，f_F=10 MHz；β^U对应于L_m_，_k的极值点，且与电离层参数R_m、w和f_F有关。当β_m_，_k∈[0，β^U]时，L_m_，_k单调递减，极小值L_m_，_k（β^U）被称为跳跃距离（skip distance）^[31]；当β_m_，_k≥β^U时，信号将无法到达接收机，且L_m_，_k单调递增，当L_m_，_k达到无穷大之后，可认为短波已穿透电离层。不失一般性，本文考虑

β_{m ， k} \in [0 ， β^{U}]

^[18-19]的情况。

图2L_m_，_k关于β_m_，_k变化的曲线

Fig.2The curve of L_m_,_k with respect to β_m_,_k chauges

由图1中的几何关系可知，第k个时隙中接收机m与目标的欧氏距离d_m_，_k为：

d_{m, k} ≜ ‖p - p_{m, k}‖ = 2 R_{0} s i n (\frac{L_{m, k} (β_{m, k}, R_{m})}{2 R_{0}})

(3)

式中，||·||表示向量2范数。由图2可知，当β_m_，_k∈[0，β^U]时，d_m_，_k分别在β_m_，_k=0和β_m_，_k=β^U时取得极大值d_max和极小值d_min，即d_m_，_k∈[d_min，d_max]。定义待估计参数向量θ

≜

[p^T R_m]^T∈R^ζ，其中，ζ=4是待估计参数的维数，T表示矩阵/向量转置。由式（1）~（3），有G_m_，_k（θ）

≜

G_m_，_k（β_m_，_k，R_m）和L_m_，_k（θ）

≜

L_m_，_k（β_m_，_k，R_m）。

现在考虑OTH场景下的短波接收信号模型。受多普勒频移的影响，经过下变频后，接收机m在第k个时隙中接收到的受加性噪声污染的信号为：

\begin{matrix} r_{m, k} (t) = s_{k} (t - τ_{m, k}) e x p (j 2 π f_{m, k} t) + z_{m, k} (t), \\ 0 < t ⩽ T, 1 ⩽ m ⩽ M, 1 ⩽ k ⩽ K \end{matrix}

(4)

式中，s_k（t）是第k个时隙发射信号的包络；τ_m_，_k

≜

τ_m_，_k（θ）=G_m_，_k（θ）/c是辐射源信号从目标到接收机m所经过的传输时延，c为信号传播速度（光速）；T为每个时隙的观测时间长度；f_m_，_k是接收机m与目标相对运动引起的多普勒频移，其表示为：

f_{m, k} ≜ \frac{f_{c}}{c d_{m, k}} v_{m, k}^{T} (p - p_{m, k})

(5)

假设在各个时隙中接收机位置变化不超过定位误差^[13]，因此在第k个时隙中f_m_，_k和τ_m_，_k视为常数。假设s_k（t）是零均值平稳高斯过程，且不同时隙间的s_k（t）相互独立^[13]。假设z_m_，_k（t）是服从SαS分布的脉冲噪声^[32]，即z_m_，_k（t）~S_α（γ，0，0）。

在t_n=nT_s（1≤n≤N）处采样第k个时隙中截获的信号，其中T_s=T/（N-1）为采样周期，N为每个时隙的采样点数。接收机m在第k个时隙中的离散时间观测信号样本可以表示为：

r_{m, k} (t_{n}) = s_{k} (t_{n} - τ_{m, k}) e x p (j 2 π f_{m, k} t_{n}) + z_{m, k} (t_{n})

(6)

其向量形式为：

r_{m, k} = q_{m, k} (θ) + z_{m, k}

(7)

其中，

r_{m, k} ≜ {[r_{m, k} (t_{1}) r_{m, k} (t_{2}) \dots r_{m, k} (t_{N})]}^{T} \in C^{N}

(8)

q_{m, k} (θ) ≜ Q_{m, k} (θ) F_{m, k} (θ) s_{k} \in C^{N}

(9)

z_{m, k} ≜ {[\begin{matrix} z_{m, k} (t_{1}) z_{m, k} (t_{2}) \dots \end{matrix} z_{m, k} (t_{N})]}^{T} \in C^{N}

(10)

式中，Q_m_，_k（θ）

≜

diag{exp（j2πf_m_，_kt₁） exp（j2πf_m_，_kt₂）···exp（j2πf_m_，_kt_N）}∈C^N^×^N是以exp（j2πf_m_，_kt_n）为对角线元素的对角矩阵，其中1≤n≤N；s_k

≜

[s_k（t₁） s_k（t₂）···s_k（t_N）]^T∈C^N，F_m_，_k（θ）为向下移位算子^[13]，F_m_，_k（θ）s_k表示将向量s_k中每个元素的位置向下移动

⌊τ_{m ， k} / T_{s}⌋

位，

⌊ \cdot ⌋

表示向下取整。

本文考虑在脉冲噪声环境下，QP电离层模型参数R_m未知时，利用观测信号r_m_，_k，以实现OTH短波辐射源目标位置p和电离层模型参数R_m的联合估计。

2 OTH DPD算法

2.1 算法推导

由于SαS分布的概率密度函数不存在闭式表达式，无法基于传统的ML准则估计目标位置。本节考虑基于最大相关熵准则推导OTH DPD算法的目标函数。

分别定义

r_{m} ≜ {[\begin{matrix} r_{m ， 1}^{T} r_{m ， 2}^{T} \dots r_{m ， K}^{T} \end{matrix}]}^{T} \in C^{K N}

和

q_{m} （ θ ） ≜ {[\begin{matrix} q_{m ， 1}^{T} （ θ ） q_{m ， 2}^{T} （ θ ） \dots q_{m ， K}^{T} （ θ ） \end{matrix}]}^{T} \in C^{K N}

为接收机m在K个时隙内收到的观测信号向量和对应的未受脉冲噪声污染的信号向量，其中，q_m_，_k（θ）（1≤k≤K）同时包含了与辐射源目标位置相关的f_m_，_k与τ_m_，_k，而τ_m_，_k又与QP电离层模型参数密切相关；q_m（θ）可描述短波信号到达接收机m的传输过程。定义

e_{m} （ θ ） ≜ r_{m} - q_{m} （ θ ） = {[e_{m ， 1} （ θ ） e_{m ， 2} （ θ ） \dots e_{m ， K N} （ θ ）]}^{T} \in C^{K N}

，其中，e_m_，_i（θ）为e_m（θ）的第i个元素。因此，基于最大相关熵准则^[30]，最优估计

\hat{θ}

使得r_m与q_m（θ）间的距离测度最小，即局部相似性最大。

为衡量接收短波信号r_m与无噪信号q_m（θ）间的差异，定义r_m与q_m（θ）的相关熵的表达式为：

V_{σ} (r_{m}, q_{m} (θ)) ≜ E \{κ_{σ} (r_{m} - q_{m} (θ))\}

(11)

式中，

κ_{σ} （ \cdot ） ≜ \frac{1}{2 π σ^{2}} e x p (- \frac{‖ \cdot ‖^{2}}{2 σ^{2}})

是核长为σ的高斯核函数。进一步地，采用相关熵诱导度量（correntropy induced metric，CIM）

C_{C I M} (r_{m}, q_{m} (θ)) ≜ \sqrt{κ_{σ} (0) - V_{σ} (r_{m}, q_{m} (θ))}

(12)

衡量r_m与q_m（θ）的相似性。由式（11）可知，当且仅当r_m与q_m（θ）相等时，两者间的相关熵诱导度量C_CIM（r_m，q_m（θ））取得极小值，此时可获得θ的最优估计。

根据MCC，通过极小化M个接收机的相关熵诱导度量，可实现对目标位置与电离层模型参数的联合估计。具体地，定义关于θ的目标函数为：

J_{1} (θ) ≜ \sum_{m = 1}^{M} C_{C I M}^{2} (r_{m}, q_{m} (θ))

(13)

观察到κ_σ（0）与待估计参数θ无关，求解目标函数J₁（θ）极小值可转化为求解

J_{2} (θ) ≜ \sum_{m = 1}^{M} V_{σ} (r_{m}, q_{m} (θ))

(14)

的极大值。此外，注意到d_m_，_k的约束条件，目标位置和电离层参数的联合估计可由式（15）给出。

\{\begin{matrix} \hat{θ} = \underset{θ}{\arg m a x} J_{2} (θ) \\ s . t . ‖p - p_{m, k}‖ \in [d_{m i n}, d_{m a x}] \end{matrix}

(15)

利用有限个数据样本得到相关熵的估计值:

{\hat{V}}_{σ} (r_{m}, q_{m} (θ)) ≜ \frac{1}{K N} \sum_{i = 1}^{K N} κ_{σ} (e_{m, i} (θ))

(16)

相应地，目标位置和电离层参数的联合估计

\hat{θ}

可由式（17）给出:

\{\begin{matrix} \hat{θ} = \underset{θ}{\arg m a x} \{{\hat{J}}_{2} (θ) ≜ \sum_{m = 1}^{M} {\hat{V}}_{σ} (r_{m}, q_{m} (θ))\} \\ s . t . ‖p - p_{m, k}‖ \in [d_{min}, d_{max}] \end{matrix}

(17)

在本文所提出的MCC-ODPD算法中，目标函数J₂（θ）和

{\hat{J}}_{2} （ θ ）

是θ的非凸函数。不难观察到，高斯核函数κ_σ（·）通过将e_m（θ）

≜

r_m-q_m（θ）映射到更高维空间，能够更好地衡量r_m与q_m（θ）的相似性。作为缩放因子，κ_σ（·）中的核长参数σ影响着相关熵的计算，一般可通过启发式准则或实验选取最优的σ值^[30]。此外，由于κ_σ（·）中负指数项和核长参数σ的阈值作用，受噪声影响的e_m（θ）对相关熵以及目标函数J₂（θ）的贡献将被削弱，因此本文基于最大相关熵准则推导的

{\hat{J}}_{2} （ θ ）

不易受脉冲噪声影响。

2.2 算法求解

结合E-WOA^[25]迭代优化非凸目标函数（式17），本文给出的算法具体过程如下：

1）将待估计参数θ看作ζ维空间中的点。在第l次迭代中，其估计值

\hat{θ}

的第i个候选点

θ_{i}^{l} \in R^{ξ} （ i = 1，2 ， \dots ， U ）

。分别定义不同的可能性

ρ_{i}^{l}

和

χ_{i}^{l}

，以选择候选点

θ_{i}^{l}

的更新策略，其中，

ρ_{i}^{l}

服从[0，1]均匀分布；

χ_{i}^{l}

服从位置参数和尺度参数分别为0.5和0.1的柯西分布^[25]。假设最大迭代次数为l_max。

2）在第l次迭代中，计算

{\hat{J}}_{2} (θ_{i}^{l}) （ i = 1，2 ， \dots ， U ）

。将使

{\hat{J}}_{2} (θ_{i}^{l})

在U个函数值中取得最大值和最小值的自变量分别记为θ^l_best和θ^l_worst。计算

θ_{ε, a}^{l} = A_{ε}^{l} (θ_{max}^{l} - θ_{min}^{l}) + θ_{min}^{l} 1_{ζ} \in R^{ζ}

(18)

ψ_{ε}^{l} = η_{ε}^{l} ⊙ θ_{ε, a}^{l} + {\bar{η}}_{ε}^{l} ⊙ θ_{worst}^{l} \in R^{ζ}

(19)

得到包含ω个点的集合S={ψ^l₁ ψ^l₂···ψ^l_ω}，其中，ε=1，2，···，ω；A^l_ε∈R^ζ中的各元素服从[0，1]均匀分布；θ^l_max和θ^l_min分别是θ^l_best向量中最大和最小的元素；1_ζ表示ζ维全1列向量。η^l_ε∈R^ζ中各元素服从参数为0.5的0-1分布；⊙表示Hadamard积；

{\bar{η}}_{ε}^{l}

是η^l_ε的反码向量。

3）在U个候选点中，随机选择V个候选点并按式（20）更新:

θ_{i}^{l + 1} = θ_{i, b}^{l} - θ_{i, a}^{l}

(20)

式中，

θ_{i, b}^{l} = B_{i}^{l} ⊙ (θ_{u b} - θ_{l b}) + θ_{l b} \in R^{ξ}

(21)

θ_{i, a}^{l} = A_{i}^{l} (θ_{max}^{l} - θ_{min}^{l}) + θ_{min}^{l} 1_{ζ} \in R^{ζ}

(22)

其中，B^l_i∈R^ζ和A^l_i∈R^ζ中的各元素服从[0，1]均匀分布；θ_ub∈R^ζ和θ_lb∈R^ζ分别为待估计参数θ的上界和下界，且可通过目标函数（式17）中目标位置范围的约束和R_m的先验信息获得。

另一方面，根据

ρ_{i}^{l}

和

χ_{i}^{l}

的不同取值，使用不同策略更新剩余的U-V个候选点^[25]，具体表示为：

\{\begin{matrix} θ_{i}^{l + 1} = |θ_{best}^{l} - θ_{i}^{l}| e x p (C_{i}^{l}) c o s (2 π C_{i}^{l}) + θ_{best}^{l}, \\ ρ_{i}^{l} ⩾ 0.5 \\ θ_{i}^{l + 1} = θ_{i}^{l} + χ_{i}^{l} (2 D_{i}^{l} ψ_{r 1}^{l} - ψ_{r 2}^{l}), \\ ρ_{i}^{l} < 0.5, |χ_{i}^{l}| ⩾ 0.5 \\ θ_{i}^{l + 1} = θ_{best}^{l} - χ_{i}^{l} |2 D_{i}^{l} θ_{best}^{l} - ψ_{r 3}^{l}|, \\ 其 他 \end{matrix}

(23)

式中，|·|是对向量中每个元素取绝对值，随机数C^l_i和D^l_i分别服从[-1，1]和[0，1]均匀分布，ψ^l_r1、ψ^l_r2和ψ^l_r3∈R^ζ为从集合S中等可能选择的3个点。

4）在第l_max次迭代中，候选点

θ_{best}^{l_{max}}

即为辐射源目标位置和QP电离层模型参数的联合估计

\hat{θ}

。

算法整体流程如算法1所示。

算法1 MCC-ODPD算法

初始化：候选点数U，每轮迭代中所需点数ω和V，所有初始位置θ⁰_i，最大迭代次数l_max。

步骤1 在第l次迭代中，计算所有候选点的目标函数值

{\hat{J}}_{2} (θ_{i}^{l})

，选出θ^l_best和θ^l_worst并生成集合S。定义不同的可能性

ρ_{i}^{l}

和

χ_{i}^{l}

来选择各候选点的更新策略。

步骤2 根据式（20）和（21）更新全部U个候选点。

步骤3 若l＜l_max，则令l=l+1，返回步骤1；若l=l_max，则输出U个候选点中目标函数值最大的点坐标

θ_{best}^{l_{max}}

，作为待估计参数的最优估计

\hat{θ} = θ_{best}^{l_{max}}

。

2.3 算法复杂度分析

下面分析所提算法（MCC-ODPD）和GS-ODPD、GSA-SODPD的计算复杂度。三者均涉及目标函数的计算，计算一次目标函数

{\hat{J}}_{2} (θ)

需要（4+4MKN）次复数乘法，采用E-WOA需要l_maxU（5+4MKN+2ζ）次复数乘法；如果选取N_g个网格，则采用网格搜索方法需要N_g（4+4MKN）次复数乘法；GSA-SODPD需要l_maxU[K（N²+（2M+1）N）+3U+15]次复数乘法^[23]。后续实验中N=4 000、l_max=150、U=50，图3给出了3种算法计算复杂度对比。在相同条件下，GSA-SODPD的计算复杂度远大于所提算法和GS-ODPD。当时隙数K相同，N_g=40 000时，GS-ODPD虽然计算复杂度与所提算法接近，但定位误差较大；当GS-ODPD与所提算法性能相当时，所需网格N_g=160 000，其计算复杂度明显高于所提算法。

图3MCC-ODPD、GS-ODPD与GSA-SODPD算法的计算复杂度对比

Fig.3The computational complexity comparison of the algorithms of MCC-ODPD、GS-ODPD and GSA-SODPD

3 仿真实验与分析

本文通过仿真实验验证所提算法的有效性，并分析不同参数对算法性能的影响。设置QP电离层模型中参数分别为w=100 km、R_m=6 690 km、f_F=10 MHz^[16，18-19]。在如图1所示的直角坐标系中，假设位于[1 500 2 000 0 km]^T的辐射源目标发射载频f_c=20 MHz，带宽5 kHz的短波信号。考虑有M=2个接收机以相对地面v_m_，_k=v=[300 0 0 m/s]^T的速度做匀速直线运动，初始位置分别为[1 000 0 0 km]^T和[2 000 100 0 km]^T。考虑在K=3个时隙中截获辐射源发出的短波信号，每个时隙长度为0.4 s，采样频率为10 kHz，接收机在2个连续时隙间的运动距离为10 km。所有初始候选点在约束范围内服从均匀分布。实验结果均由N_ex=100次蒙特卡罗实验得到。

当α＜2时，服从α稳定分布的随机变量一般不存在有限二阶矩。定义广义信噪比（generalized signal-to-noise ratio，GSNR）

G_{G S N R} ≜ 10 l g (σ_{s}^{2} / γ)

(24)

式中，

σ_{s}^{2}

为发射信号功率。本文采用均方根误差（root mean square error，RMSE）

R_{{R M S E}_{p}} ≜ \sqrt{\frac{1}{N_{e x}} \sum_{i = 1}^{N_{e x}} {‖p - {\hat{p}}_{i}‖}^{2}}

(25)

R_{{RMSE}_{R}} ≜ \sqrt{\frac{1}{N_{e x}} \sum_{i = 1}^{N_{e x}} {(R_{m} - {\hat{R}}_{m, i})}^{2}}

(26)

分别评估算法的定位性能和电离层模型参数的估计性能，其中，

{\hat{p}}_{i}

和

{\hat{R}}_{m ， i}

分别为第i次蒙特卡罗实验中目标位置p和电离层模型参数R_m的估计。

3.1 电离层模型参数已知时MCC-ODPD算法定位性能分析

3.1.1 随GSNR变化的定位性能

首先验证在电离层模型参数已知情况下（R_m已知）所提算法随GSNR变化的定位性能。此时MCC-ODPD算法中目标函数

{\hat{J}}_{2} (θ)

仅与目标位置有关。选取核长参数σ=4。

如图4所示，在K=3、|v|=300 m/s情况下，与同样基于OTH场景的GSA-SODPD方法相比，本文提出的MCC-ODPD算法的目标位置估计精度更高，且在低广义信噪比条件下优势更明显。这是因为α＜2时，相关熵仅在由σ决定的区间内衡量r_m与q_m（θ）的局部相似性，在一定程度上能减小脉冲噪声对接收短波信号的影响；而基于ML准则推导的GSA-SODPD算法则并未考虑噪声尖峰脉冲特性。此外，所提算法能以较低的计算复杂度获得与GS-ODPD算法接近的定位性能。另一方面，在噪声的脉冲性较弱（α较大）条件下，MCC-ODPD定位性能较好。当α-稳定分布退化为高斯分布（α=2）时，MCC-ODPD的定位精度更高。这表明MCC-ODPD算法同样可解决高斯噪声环境下的超视距直接定位问题。当接收机速度|v|分别为160 m/s和300 m/s时，算法定位性能接近，因此接收机低速运动情况下所提算法同样适用。当观测时隙数K=1时，所提算法定位性能明显下降，因而增大观测时隙数可有效提升算法性能。

图4不同广义信噪比下各算法的定位性能

Fig.4Localization performance of each algorithm for different GSNRs

3.1.2 最大迭代次数l_max和候选点数U不同时所提算法的定位性能

选取特征指数α=0.8，核长参数σ=4，结果如图5所示。从图中可以看出，当迭代次数过少（l_max=60或l_max=100）时，即使增大候选点数（U=100），算法定位性能会有所影响，且在低广义信噪比条件下定位精度不佳；当迭代次数足够大（l_max=150或l_max=300）时，即使用较小的候选点数（U=50），仍能获得较好的定位性能。为了平衡计算复杂度与算法性能，后续实验中均选取l_max=150，U=50，ω=1.5U=75和V=0.2U=10。

图5不同l_max和U下MCC-ODPD的定位性能

Fig.5Localization performance of the MCC-ODPD for different l_max and U

3.2 电离层模型参数部分未知时算法性能分析

3.2.1 参数部分未知时GSNR对MCC-ODPD算法性能的影响

首先，探究在QP电离层参数R_m未知，w准确已知时，GSNR对本文所提算法的影响。选取特征指数α=0.8。图6分别给出了MCC-ODPD算法的位置估计和R_m估计的RMSE随GSNR变化的曲线。从图中可以看出，所提算法的参数估计性能随着广义信噪比GSNR的提升而改善。在低GSNR条件下，核长参数σ越大，定位精度和电离层模型参数估计精度越高；而在高GSNR条件下，核长参数越小定位和电离层参数估计精度越高。由最大相关熵准则可知，σ影响着相关熵的局部相似性度量，因此选取不同核长σ对定位精度有一定程度的影响，尤其在低GSNR条件下，选取合适的核长参数能显著提升定位精度。

图6不同广义信噪比和核长参数下MCC-ODPD性能

Fig.6Performance of the MCC-ODPD for different GSNRs and kernel sizes

3.2.2 核长σ对MCC-ODPD算法性能的影响

图7给出了G_GSNR=0 dB时，目标位置和R_m估计的RMSE随核长参数σ变化的曲线。当α=0.7且核长参数过小时，定位精度和R_m估计精度明显降低。这是由于噪声脉冲性较强且σ过小时，增大了噪声对于目标函数

{\hat{J}}_{2} (θ)

的贡献，而降低了与目标位置有关的接收信号在

{\hat{J}}_{2} (θ)

中的比重，导致算法定位性能下降。在噪声脉冲性较弱时，算法性能几乎不随σ变化；在噪声脉冲性较强（α较小）的条件下，σ越小估计精度越高。作为一种非常规的距离测度，当r_m与q_m（θ）的相似性较小时，CIM以0或1范数形式衡量二者的相似性^[30]，在σ较小的条件下，能够有效降低脉冲噪声对目标函数的影响。此外，特征指数α决定着噪声的脉冲性强弱，在脉冲噪声脉冲性较弱条件下，所提算法参数估计精度较高；从图7（a）可以看出，在不同噪声脉冲性强弱条件下，选取核长参数σ＞3对定位性能影响不大。

3.2.3 特征指数α对MCC-ODPD算法性能的影响

图8给出了核长参数σ=4时，目标位置和R_m估计的RMSE随特征指数α变化的曲线。从图中可以看出，在相同条件下，噪声脉冲性较弱（α较大）时，所提算法定位精度较高。给定α，算法定位性能随GSNR增大而提升；在高GSNR条件下，所提算法定位性能受噪声脉冲性变化影响较小。此外，所提算法对R_m估计的RMSE表现出类似变化趋势。

图7不同核长参数和特征指数下MCC-ODPD性能

Fig.7Performance of the MCC-ODPD for different kernel sizes and characteristic exponents

图8不同特征指数和广义信噪比下MCC-ODPD性能

Fig.8Performance of the MCC-ODPD for different characteristic exponents and GSNRs

4 结束语

本文基于QP电离层模型，在脉冲噪声环境下，利用多个运动单天线接收机定位OTH短波辐射源目标，提出了一种MCC-ODPD，实现了对目标位置和电离层参数的联合估计。为实现参数估计的高效解算，提出应用E-WOA算法，以较低的计算复杂度，实现非凸目标函数的迭代优化。仿真实验表明，在噪声脉冲性较强的环境下，所提算法定位性能良好，且选取适当的核长参数可获得良好的定位结果；在高斯噪声环境下，所提算法仍保持较高定位精度。后续将考虑研究复杂电磁传输环境中（如多径效应、电离层模型参数完全未知等）对OTH定位性能的影响，并探究在复杂电磁传输环境中的OTH DPD算法。

图1短波信号传输过程

Fig.1The transmission of shortwave signals

下载: 全尺寸图片

图2L_m_，_k关于β_m_，_k变化的曲线

Fig.2The curve of L_m_,_k with respect to β_m_,_k chauges

下载: 全尺寸图片

图3MCC-ODPD、GS-ODPD与GSA-SODPD算法的计算复杂度对比

Fig.3The computational complexity comparison of the algorithms of MCC-ODPD、GS-ODPD and GSA-SODPD

下载: 全尺寸图片

图4不同广义信噪比下各算法的定位性能

Fig.4Localization performance of each algorithm for different GSNRs

下载: 全尺寸图片

图5不同l_max和U下MCC-ODPD的定位性能

Fig.5Localization performance of the MCC-ODPD for different l_max and U

下载: 全尺寸图片

图6不同广义信噪比和核长参数下MCC-ODPD性能

Fig.6Performance of the MCC-ODPD for different GSNRs and kernel sizes

下载: 全尺寸图片

图7不同核长参数和特征指数下MCC-ODPD性能

Fig.7Performance of the MCC-ODPD for different kernel sizes and characteristic exponents

下载: 全尺寸图片

图8不同特征指数和广义信噪比下MCC-ODPD性能

Fig.8Performance of the MCC-ODPD for different characteristic exponents and GSNRs

下载: 全尺寸图片

图1短波信号传输过程

Fig.1The transmission of shortwave signals

图2L_m_，_k关于β_m_，_k变化的曲线

Fig.2The curve of L_m_,_k with respect to β_m_,_k chauges

图3MCC-ODPD、GS-ODPD与GSA-SODPD算法的计算复杂度对比

Fig.3The computational complexity comparison of the algorithms of MCC-ODPD、GS-ODPD and GSA-SODPD

图4不同广义信噪比下各算法的定位性能

Fig.4Localization performance of each algorithm for different GSNRs

图5不同l_max和U下MCC-ODPD的定位性能

Fig.5Localization performance of the MCC-ODPD for different l_max and U

图6不同广义信噪比和核长参数下MCC-ODPD性能

Fig.6Performance of the MCC-ODPD for different GSNRs and kernel sizes

图7不同核长参数和特征指数下MCC-ODPD性能

Fig.7Performance of the MCC-ODPD for different kernel sizes and characteristic exponents

图8不同特征指数和广义信噪比下MCC-ODPD性能

Fig.8Performance of the MCC-ODPD for different characteristic exponents and GSNRs

图(8)

引用本文

杜鑫苹，夏威. 一种基于最大相关熵准则的超视距目标直接定位算法[J]. 信息对抗技术，2025, 4（2）：44-54.

复制

DU Xinping, XIA Wei, et al. Direct position determination for over-the-horizon emitters based on the maximum correntropy criterion[J]. Information Countermeasure Technology, 2025, 4（2）：44-54.（in Chinese）

Copy

计量

图1短波信号传输过程

Fig.1The transmission of shortwave signals

图2L_m_，_k关于β_m_，_k变化的曲线

Fig.2The curve of L_m_,_k with respect to β_m_,_k chauges

图3MCC-ODPD、GS-ODPD与GSA-SODPD算法的计算复杂度对比

Fig.3The computational complexity comparison of the algorithms of MCC-ODPD、GS-ODPD and GSA-SODPD

图4不同广义信噪比下各算法的定位性能

Fig.4Localization performance of each algorithm for different GSNRs

图5不同l_max和U下MCC-ODPD的定位性能

Fig.5Localization performance of the MCC-ODPD for different l_max and U

图6不同广义信噪比和核长参数下MCC-ODPD性能

Fig.6Performance of the MCC-ODPD for different GSNRs and kernel sizes

图7不同核长参数和特征指数下MCC-ODPD性能

Fig.7Performance of the MCC-ODPD for different kernel sizes and characteristic exponents

图8不同特征指数和广义信噪比下MCC-ODPD性能

Fig.8Performance of the MCC-ODPD for different characteristic exponents and GSNRs

苏志刚, 武瑞, 郝敬堂. 面向无源定位的直达波传感器识别算法[J]. 电子学报,2021,49(6):1178-1186.SU Zhigang, WU Rui, HAO Jingtang. Identification algorithm of line-of-sight sensors for passive localization[J]. Acta Electronica Sinica,2021,49(6):1178-1186.(in Chinese)

LI A, HUAN H, TAO R,et al. Passive synthetic aperture high-precision radiation source location by single satellite[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters,2022,19:4010105.

WANG Z W, HU D X, ZHAO Y J,et al. Real-time passive localization of TDOA via neural networks[J]. IEEE Communications Letters,2021,25(10):3320-3324.

余婉婷, 于宏毅, 杜剑平, 等. 辐射源信号波形已知的超视距目标直接定位方法[J]. 电子学报,2019,47(11):2368-2377.YU Wanting, YU Hongyi, DU Jianping,et al. A direct position determination method for over-the-horizon target on known radiation source waveforms[J]. Acta Electronica Sinica,2019,47(11):2368-2377.(in Chinese)

夏楠, 邢宝辉, 高丹阳, 等. 基于联合互谱函数的短波同频多目标直接定位方法[J]. 电子学报,2022,50(10):2462-2468.XIA Nan, XING Baohui, GAO Danyang,et al. A direct localization method of HF co-channel multi-target based on joint cross-spectrum functions[J]. Acta Electronica Sinica,2022,50(10):2462-2468.(in Chinese)

杨泽宇, 杨宾, 王鼎. 一种电离层虚高观测误差存在条件下的超视距直接定位方法[J]. 信息工程大学学报,2019,20(6):664-670.YANG Zeyu, YANG Bin, WANG Ding. Robust direct position determination for over-the-horizon emitter in presence of the ionosphere virtual height errors[J]. Journal of Information Engineering University,2019,20(6):664-670.(in Chinese)

CHAPMAN S. The absorption and dissociative or ionizing effect of monochromatic radiation in an atmosphere on a rotating earth[J]. Proceedings of the Physical Society,1931,43(1):26-45.

BILITZA D, ALTADILL D, TRUHLIK V,et al. International reference ionosphere 2016:from ionospheric climate to real-time weather predictions[J]. Space Weather,2017,15(2):418-429.

CROFT T A, HOOGASIAN H. Exact ray calculations in a quasi-parabolic ionosphere with no magnetic field[J]. Radio Science,1968,3(1):69-74.

DAVIES K. Ionospheric radio[M]. London: The Institution of Engineering and Technology,1990.

NORMAN R J. An inversion technique for obtaining quasi-parabolic layer parameters from VI ionograms[C]//Proceedings of 2003 International Conference on Radar.[S.l.]: IEEE,2003:363-367.

TANG J, YANG D P, DING M F. Forecasting ionospheric foF2 using bidirectional LSTM and attention mechanism[J]. Space Weather,2023,21(11):e2023SW003508.

WEISS A J. Direct geolocation of wideband emitters based on delay and Doppler[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2011,59(6):2513-2521.

CHAN Y T, HO K C. A simple and efficient estimator for hyperbolic location[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,1994,42(8):1905-1915.

JAIN A, PAGANI P, FLEURY R,et al. Efficient time domain HF geolocation using multiple distributed receivers[C]//Proceedings of the 11th European Conference on Antennas and Propagation. Paris: IEEE,2017:1852-1856.

WANG T, HONG X L, LIU W,et al. Geolocation of unknown emitters using TDOA of path rays through the ionosphere by multiple coordinated distant receivers[C]//Proceedings of 2018 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Canada: IEEE,2018:3509-3513.

WANG R K, WEN B Y, HUANG W M. A support vector regression-based method for target direction of arrival estimation from HF radar data[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters,2018,15(5):674-678.

HUANG S, PUN Y-M, SO A M-C,et al. A provably convergent projected gradient-type algorithm for TDOA-based geolocation under the quasi-parabolic ionosphere model[J]. IEEE Signal Processing Letters,2020,27:1335-1339.

XIONG W X, SCHINDELHAUER C, SO H C. Globally optimized TDOA high-frequency source localization based on quasi-parabolic ionosphere modeling and collaborative gradient projection[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2023,59(1):580-590.

WEISS A J. Direct position determination of narrowband radio frequency transmitters[J]. IEEE Signal Processing Letters,2004,11(5):513-516.

MIRJALILI S, LEWIS A. The whale optimization algorithm[J]. Advances in Engineering Software,2016,95:51-67.

HAMAD R K, RASHID T A. GOOSE algorithm:a powerful optimization tool for real-world engineering challenges and beyond[J]. Evolving Systems,2024,15:1249-1274.

何德明, 杜鑫苹, 夏威, 等. 一种天波超视距短波目标的直接定位算法[J]. 信息对抗技术,2024,3(2):27-37.HE Deming, DU Xinping, XIA Wei,et al. A direct position determination algorithm for shortwave sky-wave over-the-horizon emitters[J]. Information Coun-termeasure Technology,2024,3(2):27-37.(in Chinese)

NADIMI-SHAHRAKI M H, ZAMANI H, VARZANEH Z A,et al. A systematic review of the whale optimization algorithm:theoretical foundation,improvements,and hybridizations[J]. Archives of Computational Methods in Engineering,2023,30(7):4113-4159.

NADIMI-SHAHRAKI M H, ZAMANI H, MIRJALILI S. Enhanced whale optimization algorithm for medical feature selection:a COVID-19 case study[J]. Computers in Biology and Medicine,2022,148:105858.

CHEN J, BENNETT J A, DYSON P L. Synthesis of oblique ionograms from vertical ionograms using quasi-parabolic segment models of the ionosphere[J]. Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics,1992,54:323-331.

徐谡钦, 徐以涛. 短波宽带信道中噪声与干扰建模[J]. 通信技术,2013,46(5):24-26.XU Suqin, Xu Yitao. Modeling of wideband HF noise and interference[J]. Communications Technology,2013,46(5):24-26.(in Chinese)

马金全, 葛临东. 基于Alpha稳定分布的大气噪声生成算法及其仿真[J]. 信息工程大学学报,2010,11(2):214-217.MA Jinquan, GE Lindong. Algorithm and simulation of atmospheric noise generation based on alpha stable distribution[J]. Journal of Information Engineering University,2010,11(2):214-217.(in Chinese)

毛毅, 段永胜, 黄中瑞, 等. 一种在脉冲噪声环境下的最大相关熵目标直接定位算法[J]. 系统工程与电子技术,2023,45(9):2651-2658.MAO Yi, DUAN Yongsheng, HUANG Zhongrui,et al. Direct position determination algorithm based on maximum complex correntropy target in impulsive noise environment[J]. Systems Engineering and Electronics,2023,45(9):2651-2658.(in Chinese)

LIU W F, POKHAREL P P, PRINCIPE J C. Correntropy:properties and applications in non-Gaussian signal processing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2007,55(11):5286-5298.

SALES G S. High frequency(HF)radiowave propagation[R]. Washington, D. C.: NASA STI,1992.

NIKIAS C L, SHAO M. Signal processing with alpha-stable distributions and applications[M]. United States: Wiley-Interscience,1995.

首页

期刊介绍

作者指南

编委会

出版道德声明

学术诚信承诺

开放获取声明

联系我们

Rss

AI检索

0 引言

1 问题描述

2 OTH DPD算法

3 仿真实验与分析

4 结束语